区间离散度与非概率可靠性的关系及影响

徐格宁1 黄双云1 徐 彤21 太原科技大学机械工程学院 太原 030024 2 上海云童机械有限公司 上海 200126摘 要：针对区间分析的非概率可靠性模型中变量的区间离散度对非概率可靠性指标的影响问题，基于结构非概率可靠性理论，建立了非概率可靠性指标与区间离散度的关系模型，并对非线性极限功能函数在设计点处做线性化处理，建立非线性极限功能函数状态下的非概率可靠性指标与区间离散度的近似关系模型。基于控制变量法探究了极限状态函数中设计变量的区间离散度对非概率可靠性指标的影响，并通过工程实例，验证了所建立关系模型的合理性、实用性，拓展了非概率可靠性设计理论。关键词：区间离散度；非概率可靠性；控制变量法；模型中图分类号：TB114.3 文献标志码：A 文章编号：1001-0785（2018）09-0101-060 引言在工程结构可靠性分析中，可靠性灵敏度分析有助于了解影响结构可靠性变量的相对重要程度，从而为结构的分析预测和优化提供指导[1，2]。建立传统的概率可靠性模型需要很多数据来定义参数的概率分布或隶属函数，但在实际工程中，由于结构的材料特性、作用载荷及截面尺寸等因素的不确定性难以准确定义概率模型。近年来的有关研究表明，概率数据的小误差可导致结构可靠性计算出现较大误差，在一定程度上限制了概率可靠性模型在实际工程中的运用。基于上述原因，文献[3] 提出了基于凸集合模型的非概率可靠性概念；文献[4] 在非概率可靠性概念的基础上，提出了以系统所允许的最大不确定性程度度量可靠性，是系统对不确定性的鲁棒性度量；文献[5]、文献[6]指出了Ben-Haim 鲁棒可靠性准则的不足，利用凸集合的偏序关系给出了新的非概率凸模型鲁棒可靠性准则。文献[7]提出了基于区间分析的结构非概率可靠性模型，将从坐标原点到失效面的最短距离作为结构可靠程度的度量，并得到广泛应用。文献[8] 利用凸模型可靠性理论，对起重机臂架结构进行了可靠性分析，验证了模型的有效性。在区间非概率可靠性模型中，区间的大小及离散度将直接影响结构的可靠性。文献[9] 研究了结构安全系数和非概率可靠性度量之间的相互关系，但其在处理区间离散程度时，将所有区间变量的变化一体化，具有极大的片面性。文献[10] 提出了一系列结构非概率可靠性的灵敏度分析方法，却没有对其进行深度研究。针对以上缺陷，本文建立了概率可靠性指标与区间离散度的关系模型，随后基于控制变量法探究了极限状态函数中设计变量的区间离散程度对非概率可靠性指标的影响，最后通过工程实例验证了所建立关系模型的合理性、实用性，拓展了非概率可靠性设计理论，对结构非概率可靠性设计有着重要指导意义。1 非概率可靠性指标的定义结构的不确定参数用区间集合表示，区间集合又称为区间变量，表示不确定参数变化区间或取值范围。设xi（i ＝ 1，2，…，n ）为互不相关的区间变量，向量x＝ [x 1，x 2，…，xn] ∈（x l x u）表示与结构有关的区间变量的集合。对任意连续的极限状态函数M ＝ g （x 1，x 2，…，xn），对xi 作标准化变换：xi ＝xic ＋xirδi，其中ci x 和ri x 为i x 的均值和离差，δi 为xi 方向上的标准化区间变量，其集合形式为那么，其功能函数可转化为M ＝（x 1，x 2， …，xn）＝ G （δ 1，δ 2，…，δn）。因此，基于区间模型的非概率可靠性指标定义为上式的几何意义为标准化区间变量的扩展区间中，按无穷范数度量的从坐标原点到失效面的最短距离，若η ＞ 1，则结构性能的实际波动范围与失效域不相交，结构可靠，且η 值越大，结构性能的波动区域距实效域越远，其可靠程度越高。2 线性极限状态函数情况下的非概率可靠性指标当极限状态函数为不相关区间变量xi 的线性连续函数时，即由式（1）和式（2）可得为了便于求导，将式（6）代替式（5）构造拉格朗日参数有式中：μi 为拉格朗日乘子。由取极值的必要条件可得于是将式（9）带入式（6）可得将式（9）和式（10）带入g （x ）＝ 0 得此时x 位于设计点 上式（11）的非概率可靠性指标与文献[7] 相一致，是标准扩展空间内原点到线性极限状态方程的最小无穷范数距离。其几何意义如图1 所示。由式（12）可知，设计点、均值xic、离差xir、可靠度指标η 等4 个指标知其三即可求其一。图 1 线性功能函数3 非线性极限状态函数情况下的非概率可靠性指标上述针对线性极限状态函数给出了非概率可靠性指标的精确解析解，但对于极限状态函数为高度非线性的情况，难以获得非概率可靠性指标的精确解析解。针对此种情况，本文提出一种计算非概率可靠性指标的近似解析解方法，基本思路是将非线性极限状态函数线性化，即将非线性极限状态函数在其设计点处线性化[11]。然后利用上述方法求解非概率可靠性指标的近似解析解。将非线性极限状态函数M ＝ g （x ）在设计点处线性展开为由于在设计点P * 处，极限状态函数g（x ）＝ 0。所以，g （x 1*，x 2*， …，xn*） ＝ 0， 将g （x 1*，x 2*， …，xn*）＝ 0 代入式（8），并设xic 和xir 为x i 的均值和离差，δi 为标准化区间变量，可得到原极限状态函数对应的线性极限状态函数如式（9）和式（10）所示。根据非概率可靠性指标的定义和式（11）可得到非线性极限状态函数的近似解析解为同理，此时x 位于设计点 式（17）所示的非概率可靠性指标与文献[7] 一致，是标准扩展空间内原点到线性极限状态方程的最小无穷范数距离。其几何意义如图2 所示。图 2 非线性功能函数由式（17）可得知，设计点均值xic、离差xir、可靠度指标η 等条件中知其三即可求其一。4 工程实例起重机金属结构安全评估的主要技术指标是可靠性和安全剩余寿命，可靠度作为起重机金属结构安全评估的重要技术指标尤为重要[12,13]。已知，通用桥式起重机主梁结构承受自重均布载荷q 和集中载荷F 的作用，其力学模型简图及其截面尺寸如图3 所示，试计算其非概率可靠度。设基本区间变量为：盖板厚x 1 ∈ [6，10]mm，腹板厚x 2 ∈ [6，10] mm，腹板间距x 3 ∈ [400，490] mm， 腹板高x 4 ∈ [1 000，1 630] mm， 盖板宽x 5 ∈ [500，630] mm， 跨度l ∈ [30，33] m， 载荷F ∈ [150 000，250 000] N。图 3 桥式起重机受力简图可建立刚度失效，可建立功能函数为β 越大，区间离散度越大。于是，基本区间变量为用定义法求非概率可靠性指标，图4 给出了非概率可靠性指标随区间不确定系数β 1 ＝β 2 ＝β 3 ＝β 4＝β 5 ＝β 6 ＝β 7 ＝β 的变化规律。图 4 非概率可靠性指标随不确定系数β 的变化曲线由图4 可以看出，随着区间不确定度系数β 的增大，非概率可靠性指标逐渐减少，意味着区间的离散程度对可靠性指标影响显著。当β ＝ 0.258 时，可靠性指标为1，是结构绝对可靠的临界点。由于此时是将所有区间变量的变化一体化，并不能反映其中某个参数对可靠性指标的影响大小，故采用控制变量法对上述问题进行深入研究，其思路是保持一个或多个参数不变，调整一个或多个参数[14]，以探究诸参数对可靠性指标的影响。图5 为分别改变其中一个参数，保持其他参数不变时，可靠性指标随某参数区间不确定度系数β 的变化曲线。由图5 可以看出，各参数的改变均对可靠性指标影响显著，均符合随区间不确定系数β 的增大，非概率可靠性指标逐渐减少的规律。在可靠性设计中，区间离散度对非概率可靠性指标影响显著，且各不确定参数对其影响不同。因此，研究各不确定参数对其影响有着重要意义。由式（17）可知，设计点均值xic、离差xir、可靠度指标η 中知其三可求其一。（a）仅改变x 1 （b）仅改变x 2 （c）仅改变x 3 （d）仅改变x 4 （e）仅改变x 5 （f）仅改变l （g）仅改变F图5 可靠性指标随不确定度系数β 的变化曲线因此，对上述实例进行可靠性设计，要求可靠度指标η ＝ 2，不确定参数均值为：[8，8，578，1 655，634，31.48，100 000]。设计点可根据文献[10] 优化法进行求解， 求得P *（6，6，574，1 651，630，31.5，200 000），根据文献[9] 可得到表1 所示的值。将上述数据带入式（18），求得x 1r ～x 7r 的值分别4 4 4 x ∈[1 315(1β )，1 315(1+β )]7 7 F ∈[200 000(1β )，200 000(1+β )]9-7为1、1、2、2、2、0.01、50 000。根据上述所求离差以及均值，即可确定不确定参数的区间范围：盖板厚x 1 ∈ [9，10] mm，腹板厚x 2 ∈ [9，10]mm， 腹板间距x 3 ∈ [576，580] mm， 腹板高x 4 ∈ [1 653，1 657] mm，盖板宽x 5 ∈ [632，636]mm，跨度l ∈ [31.47，31.49] mm，载荷F ∈ [50 000，150 000] N。根据可靠性指标定义以及文献[8] 中的可靠性指标η ＝ 2.010 3，与设计要求可靠度指标η ＝ 2 误差仅在0.515% 内，验证了所建模型的合理性和实用性。5 结论1）推导出了设计点、均值、区间离散度、可靠度指标四者之间的函数关系式，建立了离散度与可靠性指标之间的模型，在已知设计点、均值的情况下，可根据可靠性指标设计区间离散度，反之也可根据区间离散度设计可靠性指标。2）基于控制变量法，探究了极限状态函数中设计变量的区间离散度对非概率可靠性指标的影响。研究表明：各参数的改变均对可靠性指标影响显著，并符合随区间离散度增大，非概率可靠性指标减少的规律。3）通过具体实例，基于所建立的模型，根据可靠性指标对区间离散度进行了设计，然后根据所设计的区间离散度，按照非概率可靠性指标的定义对可靠性指标进行求解，充分验证了所建模型是合理、实用的。参考文献[1] Wu Y T，Sitakanta M.Variable screening and ranking using sampling-based sensitivity measures[J].Reliability Engineering and System Safey，2006，91(6)：634-647.[2] Elishakoff.Uncertainties in mechanical structures：A.M.Freudenthal ′s criticisms and modernconvex models.Journal of Applied Mechanics，1999，63(1)：683-692.[3] Ben-Haim Y.A Non-probabilistic Concept of Reliability[J].Structural Safety，1994，14(4)：227-245.[4] Ben-Haim Y.A Non-probabilistic Measure of Reliability of Linear Systems Based on Expansion of Convex Model[ J].Structural Safety，1995，17(2)：91-109.[5] Qiu Z P，Mueller P C，Frommer A.The New Non-probabilistic Criterion of 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